lib/libm/src/e_log.c

   1
   2 /* @(#)e_log.c 1.3 95/01/18 */
   3 /* $FreeBSD: head/lib/msun/src/e_log.c 251292 2013-06-03 09:14:31Z das $ */
   4 /*
   5  * ====================================================
   6  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   7  *
   8  * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
   9  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
  10  * software is freely granted, provided that this notice
  11  * is preserved.
  12  * ====================================================
  13  */
  14
  15 /* __ieee754_log(x)
  16  * Return the logarithm of x
  17  *
  18  * Method :
  19  *   1. Argument Reduction: find k and f such that
  20  *                      x = 2^k * (1+f),
  21  *         where  sqrt(2)/2 < 1+f < sqrt(2) .
  22  *
  23  *   2. Approximation of log(1+f).
  24  *      Let s = f/(2+f) ; based on log(1+f) = log(1+s) - log(1-s)
  25  *               = 2s + 2/3 s**3 + 2/5 s**5 + .....,
  26  *               = 2s + s*R
  27  *      We use a special Reme algorithm on [0,0.1716] to generate
  28  *      a polynomial of degree 14 to approximate R The maximum error
  29  *      of this polynomial approximation is bounded by 2**-58.45. In
  30  *      other words,
  31  *                      2      4      6      8      10      12      14
  32  *          R(z) ~ Lg1*s +Lg2*s +Lg3*s +Lg4*s +Lg5*s  +Lg6*s  +Lg7*s
  33  *      (the values of Lg1 to Lg7 are listed in the program)
  34  *      and
  35  *          |      2          14          |     -58.45
  36  *          | Lg1*s +...+Lg7*s    -  R(z) | <= 2
  37  *          |                             |
  38  *      Note that 2s = f - s*f = f - hfsq + s*hfsq, where hfsq = f*f/2.
  39  *      In order to guarantee error in log below 1ulp, we compute log
  40  *      by
  41  *              log(1+f) = f - s*(f - R)        (if f is not too large)
  42  *              log(1+f) = f - (hfsq - s*(hfsq+R)).     (better accuracy)
  43  *
  44  *      3. Finally,  log(x) = k*ln2 + log(1+f).
  45  *                          = k*ln2_hi+(f-(hfsq-(s*(hfsq+R)+k*ln2_lo)))
  46  *         Here ln2 is split into two floating point number:
  47  *                      ln2_hi + ln2_lo,
  48  *         where n*ln2_hi is always exact for |n| < 2000.
  49  *
  50  * Special cases:
  51  *      log(x) is NaN with signal if x < 0 (including -INF) ;
  52  *      log(+INF) is +INF; log(0) is -INF with signal;
  53  *      log(NaN) is that NaN with no signal.
  54  *
  55  * Accuracy:
  56  *      according to an error analysis, the error is always less than
  57  *      1 ulp (unit in the last place).
  58  *
  59  * Constants:
  60  * The hexadecimal values are the intended ones for the following
  61  * constants. The decimal values may be used, provided that the
  62  * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
  63  * to produce the hexadecimal values shown.
  64  */
  65
  66 #include <float.h>
  67
  68 #include "math.h"
  69 #include "math_private.h"
  70
  71 static const double
  72 ln2_hi  =  6.93147180369123816490e-01,  /* 3fe62e42 fee00000 */
  73 ln2_lo  =  1.90821492927058770002e-10,  /* 3dea39ef 35793c76 */
  74 two54   =  1.80143985094819840000e+16,  /* 43500000 00000000 */
  75 Lg1 = 6.666666666666735130e-01,  /* 3FE55555 55555593 */
  76 Lg2 = 3.999999999940941908e-01,  /* 3FD99999 9997FA04 */
  77 Lg3 = 2.857142874366239149e-01,  /* 3FD24924 94229359 */
  78 Lg4 = 2.222219843214978396e-01,  /* 3FCC71C5 1D8E78AF */
  79 Lg5 = 1.818357216161805012e-01,  /* 3FC74664 96CB03DE */
  80 Lg6 = 1.531383769920937332e-01,  /* 3FC39A09 D078C69F */
  81 Lg7 = 1.479819860511658591e-01;  /* 3FC2F112 DF3E5244 */
  82
  83 static const double zero   =  0.0;
  84 static volatile double vzero = 0.0;
  85
  86 double
  87 __ieee754_log(double x)
  88 {
  89         double hfsq,f,s,z,R,w,t1,t2,dk;
  90         int32_t k,hx,i,j;
  91         u_int32_t lx;
  92
  93         EXTRACT_WORDS(hx,lx,x);
  94
  95         k=0;
  96         if (hx < 0x00100000) {                  /* x < 2**-1022  */
  97             if (((hx&0x7fffffff)|lx)==0)
  98                 return -two54/vzero;            /* log(+-0)=-inf */
  99             if (hx<0) return (x-x)/zero;        /* log(-#) = NaN */
 100             k -= 54; x *= two54; /* subnormal number, scale up x */
 101             GET_HIGH_WORD(hx,x);
 102         }
 103         if (hx >= 0x7ff00000) return x+x;
 104         k += (hx>>20)-1023;
 105         hx &= 0x000fffff;
 106         i = (hx+0x95f64)&0x100000;
 107         SET_HIGH_WORD(x,hx|(i^0x3ff00000));     /* normalize x or x/2 */
 108         k += (i>>20);
 109         f = x-1.0;
 110         if((0x000fffff&(2+hx))<3) {     /* -2**-20 <= f < 2**-20 */
 111             if(f==zero) {
 112                 if(k==0) {
 113                     return zero;
 114                 } else {
 115                     dk=(double)k;
 116                     return dk*ln2_hi+dk*ln2_lo;
 117                 }
 118             }
 119             R = f*f*(0.5-0.33333333333333333*f);
 120             if(k==0) return f-R; else {dk=(double)k;
 121                      return dk*ln2_hi-((R-dk*ln2_lo)-f);}
 122         }
 123         s = f/(2.0+f);
 124         dk = (double)k;
 125         z = s*s;
 126         i = hx-0x6147a;
 127         w = z*z;
 128         j = 0x6b851-hx;
 129         t1= w*(Lg2+w*(Lg4+w*Lg6));
 130         t2= z*(Lg1+w*(Lg3+w*(Lg5+w*Lg7)));
 131         i |= j;
 132         R = t2+t1;
 133         if(i>0) {
 134             hfsq=0.5*f*f;
 135             if(k==0) return f-(hfsq-s*(hfsq+R)); else
 136                      return dk*ln2_hi-((hfsq-(s*(hfsq+R)+dk*ln2_lo))-f);
 137         } else {
 138             if(k==0) return f-s*(f-R); else
 139                      return dk*ln2_hi-((s*(f-R)-dk*ln2_lo)-f);
 140         }
 141 }
 142
 143 #if (LDBL_MANT_DIG == 53)
 144 __weak_reference(log, logl);
 145 #endif