8256b76f6aa7a8d651eed0bd5fdd6c11968a8e2a
[dragonfly.git] / lib / libm / src / b_tgamma.c
1 /*-
2  * Copyright (c) 1992, 1993
3  *      The Regents of the University of California.  All rights reserved.
4  *
5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
6  * modification, are permitted provided that the following conditions
7  * are met:
8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
9  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
10  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
11  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
12  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
13  * 3. All advertising materials mentioning features or use of this software
14  *    must display the following acknowledgement:
15  *      This product includes software developed by the University of
16  *      California, Berkeley and its contributors.
17  * 4. Neither the name of the University nor the names of its contributors
18  *    may be used to endorse or promote products derived from this software
19  *    without specific prior written permission.
20  *
21  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE REGENTS AND CONTRIBUTORS ``AS IS'' AND
22  * ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
23  * IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE
24  * ARE DISCLAIMED.  IN NO EVENT SHALL THE REGENTS OR CONTRIBUTORS BE LIABLE
25  * FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL
26  * DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS
27  * OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
28  * HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT
29  * LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
30  * OUT OF THE USE OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF
31  * SUCH DAMAGE.
32  *
33  * @(#)gamma.c  8.1 (Berkeley) 6/4/93
34  * FreeBSD SVN: 176449 (2008-02-22)
35  */
36
37 /*
38  * This code by P. McIlroy, Oct 1992;
39  *
40  * The financial support of UUNET Communications Services is greatfully
41  * acknowledged.
42  */
43
44 #include <math.h>
45 #include "mathimpl.h"
46
47 /* METHOD:
48  * x < 0: Use reflection formula, G(x) = pi/(sin(pi*x)*x*G(x))
49  *      At negative integers, return NaN and raise invalid.
50  *
51  * x < 6.5:
52  *      Use argument reduction G(x+1) = xG(x) to reach the
53  *      range [1.066124,2.066124].  Use a rational
54  *      approximation centered at the minimum (x0+1) to
55  *      ensure monotonicity.
56  *
57  * x >= 6.5: Use the asymptotic approximation (Stirling's formula)
58  *      adjusted for equal-ripples:
59  *
60  *      log(G(x)) ~= (x-.5)*(log(x)-1) + .5(log(2*pi)-1) + 1/x*P(1/(x*x))
61  *
62  *      Keep extra precision in multiplying (x-.5)(log(x)-1), to
63  *      avoid premature round-off.
64  *
65  * Special values:
66  *      -Inf:                   return NaN and raise invalid;
67  *      negative integer:       return NaN and raise invalid;
68  *      other x ~< 177.79:      return +-0 and raise underflow;
69  *      +-0:                    return +-Inf and raise divide-by-zero;
70  *      finite x ~> 171.63:     return +Inf and raise overflow;
71  *      +Inf:                   return +Inf;
72  *      NaN:                    return NaN.
73  *
74  * Accuracy: tgamma(x) is accurate to within
75  *      x > 0:  error provably < 0.9ulp.
76  *      Maximum observed in 1,000,000 trials was .87ulp.
77  *      x < 0:
78  *      Maximum observed error < 4ulp in 1,000,000 trials.
79  */
80
81 static double neg_gam(double);
82 static double small_gam(double);
83 static double smaller_gam(double);
84 static struct Double large_gam(double);
85 static struct Double ratfun_gam(double, double);
86
87 /*
88  * Rational approximation, A0 + x*x*P(x)/Q(x), on the interval
89  * [1.066.., 2.066..] accurate to 4.25e-19.
90  */
91 #define LEFT -.3955078125       /* left boundary for rat. approx */
92 #define x0 .461632144968362356785       /* xmin - 1 */
93
94 #define a0_hi 0.88560319441088874992
95 #define a0_lo -.00000000000000004996427036469019695
96 #define P0       6.21389571821820863029017800727e-01
97 #define P1       2.65757198651533466104979197553e-01
98 #define P2       5.53859446429917461063308081748e-03
99 #define P3       1.38456698304096573887145282811e-03
100 #define P4       2.40659950032711365819348969808e-03
101 #define Q0       1.45019531250000000000000000000e+00
102 #define Q1       1.06258521948016171343454061571e+00
103 #define Q2      -2.07474561943859936441469926649e-01
104 #define Q3      -1.46734131782005422506287573015e-01
105 #define Q4       3.07878176156175520361557573779e-02
106 #define Q5       5.12449347980666221336054633184e-03
107 #define Q6      -1.76012741431666995019222898833e-03
108 #define Q7       9.35021023573788935372153030556e-05
109 #define Q8       6.13275507472443958924745652239e-06
110 /*
111  * Constants for large x approximation (x in [6, Inf])
112  * (Accurate to 2.8*10^-19 absolute)
113  */
114 #define lns2pi_hi 0.418945312500000
115 #define lns2pi_lo -.000006779295327258219670263595
116 #define Pa0      8.33333333333333148296162562474e-02
117 #define Pa1     -2.77777777774548123579378966497e-03
118 #define Pa2      7.93650778754435631476282786423e-04
119 #define Pa3     -5.95235082566672847950717262222e-04
120 #define Pa4      8.41428560346653702135821806252e-04
121 #define Pa5     -1.89773526463879200348872089421e-03
122 #define Pa6      5.69394463439411649408050664078e-03
123 #define Pa7     -1.44705562421428915453880392761e-02
124
125 static const double zero = 0., one = 1.0, tiny = 1e-300;
126
127 double
128 tgamma(x)
129         double x;
130 {
131         struct Double u;
132
133         if (x >= 6) {
134                 if(x > 171.63)
135                         return (x / zero);
136                 u = large_gam(x);
137                 return(__exp__D(u.a, u.b));
138         } else if (x >= 1.0 + LEFT + x0)
139                 return (small_gam(x));
140         else if (x > 1.e-17)
141                 return (smaller_gam(x));
142         else if (x > -1.e-17) {
143                 if (x != 0.0)
144                         u.a = one - tiny;       /* raise inexact */
145                 return (one/x);
146         } else if (!finite(x))
147                 return (x - x);         /* x is NaN or -Inf */
148         else
149                 return (neg_gam(x));
150 }
151 /*
152  * Accurate to max(ulp(1/128) absolute, 2^-66 relative) error.
153  */
154 static struct Double
155 large_gam(x)
156         double x;
157 {
158         double z, p;
159         struct Double t, u, v;
160
161         z = one/(x*x);
162         p = Pa0+z*(Pa1+z*(Pa2+z*(Pa3+z*(Pa4+z*(Pa5+z*(Pa6+z*Pa7))))));
163         p = p/x;
164
165         u = __log__D(x);
166         u.a -= one;
167         v.a = (x -= .5);
168         TRUNC(v.a);
169         v.b = x - v.a;
170         t.a = v.a*u.a;                  /* t = (x-.5)*(log(x)-1) */
171         t.b = v.b*u.a + x*u.b;
172         /* return t.a + t.b + lns2pi_hi + lns2pi_lo + p */
173         t.b += lns2pi_lo; t.b += p;
174         u.a = lns2pi_hi + t.b; u.a += t.a;
175         u.b = t.a - u.a;
176         u.b += lns2pi_hi; u.b += t.b;
177         return (u);
178 }
179 /*
180  * Good to < 1 ulp.  (provably .90 ulp; .87 ulp on 1,000,000 runs.)
181  * It also has correct monotonicity.
182  */
183 static double
184 small_gam(x)
185         double x;
186 {
187         double y, ym1, t;
188         struct Double yy, r;
189         y = x - one;
190         ym1 = y - one;
191         if (y <= 1.0 + (LEFT + x0)) {
192                 yy = ratfun_gam(y - x0, 0);
193                 return (yy.a + yy.b);
194         }
195         r.a = y;
196         TRUNC(r.a);
197         yy.a = r.a - one;
198         y = ym1;
199         yy.b = r.b = y - yy.a;
200         /* Argument reduction: G(x+1) = x*G(x) */
201         for (ym1 = y-one; ym1 > LEFT + x0; y = ym1--, yy.a--) {
202                 t = r.a*yy.a;
203                 r.b = r.a*yy.b + y*r.b;
204                 r.a = t;
205                 TRUNC(r.a);
206                 r.b += (t - r.a);
207         }
208         /* Return r*tgamma(y). */
209         yy = ratfun_gam(y - x0, 0);
210         y = r.b*(yy.a + yy.b) + r.a*yy.b;
211         y += yy.a*r.a;
212         return (y);
213 }
214 /*
215  * Good on (0, 1+x0+LEFT].  Accurate to 1ulp.
216  */
217 static double
218 smaller_gam(x)
219         double x;
220 {
221         double t, d;
222         struct Double r, xx;
223         if (x < x0 + LEFT) {
224                 t = x, TRUNC(t);
225                 d = (t+x)*(x-t);
226                 t *= t;
227                 xx.a = (t + x), TRUNC(xx.a);
228                 xx.b = x - xx.a; xx.b += t; xx.b += d;
229                 t = (one-x0); t += x;
230                 d = (one-x0); d -= t; d += x;
231                 x = xx.a + xx.b;
232         } else {
233                 xx.a =  x, TRUNC(xx.a);
234                 xx.b = x - xx.a;
235                 t = x - x0;
236                 d = (-x0 -t); d += x;
237         }
238         r = ratfun_gam(t, d);
239         d = r.a/x, TRUNC(d);
240         r.a -= d*xx.a; r.a -= d*xx.b; r.a += r.b;
241         return (d + r.a/x);
242 }
243 /*
244  * returns (z+c)^2 * P(z)/Q(z) + a0
245  */
246 static struct Double
247 ratfun_gam(z, c)
248         double z, c;
249 {
250         double p, q;
251         struct Double r, t;
252
253         q = Q0 +z*(Q1+z*(Q2+z*(Q3+z*(Q4+z*(Q5+z*(Q6+z*(Q7+z*Q8)))))));
254         p = P0 + z*(P1 + z*(P2 + z*(P3 + z*P4)));
255
256         /* return r.a + r.b = a0 + (z+c)^2*p/q, with r.a truncated to 26 bits. */
257         p = p/q;
258         t.a = z, TRUNC(t.a);            /* t ~= z + c */
259         t.b = (z - t.a) + c;
260         t.b *= (t.a + z);
261         q = (t.a *= t.a);               /* t = (z+c)^2 */
262         TRUNC(t.a);
263         t.b += (q - t.a);
264         r.a = p, TRUNC(r.a);            /* r = P/Q */
265         r.b = p - r.a;
266         t.b = t.b*p + t.a*r.b + a0_lo;
267         t.a *= r.a;                     /* t = (z+c)^2*(P/Q) */
268         r.a = t.a + a0_hi, TRUNC(r.a);
269         r.b = ((a0_hi-r.a) + t.a) + t.b;
270         return (r);                     /* r = a0 + t */
271 }
272
273 static double
274 neg_gam(x)
275         double x;
276 {
277         int sgn = 1;
278         struct Double lg, lsine;
279         double y, z;
280
281         y = ceil(x);
282         if (y == x)             /* Negative integer. */
283                 return ((x - x) / zero);
284         z = y - x;
285         if (z > 0.5)
286                 z = one - z;
287         y = 0.5 * y;
288         if (y == ceil(y))
289                 sgn = -1;
290         if (z < .25)
291                 z = sin(M_PI*z);
292         else
293                 z = cos(M_PI*(0.5-z));
294         /* Special case: G(1-x) = Inf; G(x) may be nonzero. */
295         if (x < -170) {
296                 if (x < -190)
297                         return ((double)sgn*tiny*tiny);
298                 y = one - x;            /* exact: 128 < |x| < 255 */
299                 lg = large_gam(y);
300                 lsine = __log__D(M_PI/z);       /* = TRUNC(log(u)) + small */
301                 lg.a -= lsine.a;                /* exact (opposite signs) */
302                 lg.b -= lsine.b;
303                 y = -(lg.a + lg.b);
304                 z = (y + lg.a) + lg.b;
305                 y = __exp__D(y, z);
306                 if (sgn < 0) y = -y;
307                 return (y);
308         }
309         y = one-x;
310         if (one-y == x)
311                 y = tgamma(y);
312         else            /* 1-x is inexact */
313                 y = -x*tgamma(-x);
314         if (sgn < 0) y = -y;
315         return (M_PI / (y*z));
316 }