lib/libm/ld80/k_expl.h

   1 /* from: FreeBSD: head/lib/msun/ld80/s_expl.c 251343 2013-06-03 19:51:32Z kargl */
   2
   3 /*-
   4  * Copyright (c) 2009-2013 Steven G. Kargl
   5  * All rights reserved.
   6  *
   7  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   8  * modification, are permitted provided that the following conditions
   9  * are met:
  10  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
  11  *    notice unmodified, this list of conditions, and the following
  12  *    disclaimer.
  13  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  14  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  15  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  16  *
  17  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE AUTHOR ``AS IS'' AND ANY EXPRESS OR
  18  * IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES
  19  * OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
  20  * IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT,
  21  * INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
  22  * NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
  23  * DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
  24  * THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
  25  * (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF
  26  * THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
  27  *
  28  * $FreeBSD$
  29  *
  30  * Optimized by Bruce D. Evans.
  31  */
  32
  33
  34 /*
  35  * See s_expl.c for more comments about __k_expl().
  36  *
  37  * See ../src/e_exp.c and ../src/k_exp.h for precision-independent comments
  38  * about the secondary kernels.
  39  */
  40
  41 #define INTERVALS       128
  42 #define LOG2_INTERVALS  7
  43 #define BIAS    (LDBL_MAX_EXP - 1)
  44
  45 static const double
  46 /*
  47  * ln2/INTERVALS = L1+L2 (hi+lo decomposition for multiplication).  L1 must
  48  * have at least 22 (= log2(|LDBL_MIN_EXP-extras|) + log2(INTERVALS)) lowest
  49  * bits zero so that multiplication of it by n is exact.
  50  */
  51 INV_L = 1.8466496523378731e+2,          /*  0x171547652b82fe.0p-45 */
  52 L1 =  5.4152123484527692e-3,            /*  0x162e42ff000000.0p-60 */
  53 L2 = -3.2819649005320973e-13,           /* -0x1718432a1b0e26.0p-94 */
  54 /*
  55  * Domain [-0.002708, 0.002708], range ~[-5.7136e-24, 5.7110e-24]:
  56  * |exp(x) - p(x)| < 2**-77.2
  57  * (0.002708 is ln2/(2*INTERVALS) rounded up a little).
  58  */
  59 A2 =  0.5,
  60 A3 =  1.6666666666666119e-1,            /*  0x15555555555490.0p-55 */
  61 A4 =  4.1666666666665887e-2,            /*  0x155555555554e5.0p-57 */
  62 A5 =  8.3333354987869413e-3,            /*  0x1111115b789919.0p-59 */
  63 A6 =  1.3888891738560272e-3;            /*  0x16c16c651633ae.0p-62 */
  64
  65 /*
  66  * 2^(i/INTERVALS) for i in [0,INTERVALS] is represented by two values where
  67  * the first 53 bits of the significand are stored in hi and the next 53
  68  * bits are in lo.  Tang's paper states that the trailing 6 bits of hi must
  69  * be zero for his algorithm in both single and double precision, because
  70  * the table is re-used in the implementation of expm1() where a floating
  71  * point addition involving hi must be exact.  Here hi is double, so
  72  * converting it to long double gives 11 trailing zero bits.
  73  */
  74 static const struct {
  75         double  hi;
  76         double  lo;
  77 } tbl[INTERVALS] = {
  78         0x1p+0, 0x0p+0,
  79         /*
  80          * XXX hi is rounded down, and the formatting is not quite normal.
  81          * But I rather like both.  The 0x1.*p format is good for 4N+1
  82          * mantissa bits.  Rounding down makes the lo terms positive,
  83          * so that the columnar formatting can be simpler.
  84          */
  85         0x1.0163da9fb3335p+0, 0x1.b61299ab8cdb7p-54,
  86         0x1.02c9a3e778060p+0, 0x1.dcdef95949ef4p-53,
  87         0x1.04315e86e7f84p+0, 0x1.7ae71f3441b49p-53,
  88         0x1.059b0d3158574p+0, 0x1.d73e2a475b465p-55,
  89         0x1.0706b29ddf6ddp+0, 0x1.8db880753b0f6p-53,
  90         0x1.0874518759bc8p+0, 0x1.186be4bb284ffp-57,
  91         0x1.09e3ecac6f383p+0, 0x1.1487818316136p-54,
  92         0x1.0b5586cf9890fp+0, 0x1.8a62e4adc610bp-54,
  93         0x1.0cc922b7247f7p+0, 0x1.01edc16e24f71p-54,
  94         0x1.0e3ec32d3d1a2p+0, 0x1.03a1727c57b53p-59,
  95         0x1.0fb66affed31ap+0, 0x1.e464123bb1428p-53,
  96         0x1.11301d0125b50p+0, 0x1.49d77e35db263p-53,
  97         0x1.12abdc06c31cbp+0, 0x1.f72575a649ad2p-53,
  98         0x1.1429aaea92ddfp+0, 0x1.66820328764b1p-53,
  99         0x1.15a98c8a58e51p+0, 0x1.2406ab9eeab0ap-55,
 100         0x1.172b83c7d517ap+0, 0x1.b9bef918a1d63p-53,
 101         0x1.18af9388c8de9p+0, 0x1.777ee1734784ap-53,
 102         0x1.1a35beb6fcb75p+0, 0x1.e5b4c7b4968e4p-55,
 103         0x1.1bbe084045cd3p+0, 0x1.3563ce56884fcp-53,
 104         0x1.1d4873168b9aap+0, 0x1.e016e00a2643cp-54,
 105         0x1.1ed5022fcd91cp+0, 0x1.71033fec2243ap-53,
 106         0x1.2063b88628cd6p+0, 0x1.dc775814a8495p-55,
 107         0x1.21f49917ddc96p+0, 0x1.2a97e9494a5eep-55,
 108         0x1.2387a6e756238p+0, 0x1.9b07eb6c70573p-54,
 109         0x1.251ce4fb2a63fp+0, 0x1.ac155bef4f4a4p-55,
 110         0x1.26b4565e27cddp+0, 0x1.2bd339940e9d9p-55,
 111         0x1.284dfe1f56380p+0, 0x1.2d9e2b9e07941p-53,
 112         0x1.29e9df51fdee1p+0, 0x1.612e8afad1255p-55,
 113         0x1.2b87fd0dad98fp+0, 0x1.fbbd48ca71f95p-53,
 114         0x1.2d285a6e4030bp+0, 0x1.0024754db41d5p-54,
 115         0x1.2ecafa93e2f56p+0, 0x1.1ca0f45d52383p-56,
 116         0x1.306fe0a31b715p+0, 0x1.6f46ad23182e4p-55,
 117         0x1.32170fc4cd831p+0, 0x1.a9ce78e18047cp-55,
 118         0x1.33c08b26416ffp+0, 0x1.32721843659a6p-54,
 119         0x1.356c55f929ff0p+0, 0x1.928c468ec6e76p-53,
 120         0x1.371a7373aa9cap+0, 0x1.4e28aa05e8a8fp-53,
 121         0x1.38cae6d05d865p+0, 0x1.0b53961b37da2p-53,
 122         0x1.3a7db34e59ff6p+0, 0x1.d43792533c144p-53,
 123         0x1.3c32dc313a8e4p+0, 0x1.08003e4516b1ep-53,
 124         0x1.3dea64c123422p+0, 0x1.ada0911f09ebcp-55,
 125         0x1.3fa4504ac801bp+0, 0x1.417ee03548306p-53,
 126         0x1.4160a21f72e29p+0, 0x1.f0864b71e7b6cp-53,
 127         0x1.431f5d950a896p+0, 0x1.b8e088728219ap-53,
 128         0x1.44e086061892dp+0, 0x1.89b7a04ef80d0p-59,
 129         0x1.46a41ed1d0057p+0, 0x1.c944bd1648a76p-54,
 130         0x1.486a2b5c13cd0p+0, 0x1.3c1a3b69062f0p-56,
 131         0x1.4a32af0d7d3dep+0, 0x1.9cb62f3d1be56p-54,
 132         0x1.4bfdad5362a27p+0, 0x1.d4397afec42e2p-56,
 133         0x1.4dcb299fddd0dp+0, 0x1.8ecdbbc6a7833p-54,
 134         0x1.4f9b2769d2ca6p+0, 0x1.5a67b16d3540ep-53,
 135         0x1.516daa2cf6641p+0, 0x1.8225ea5909b04p-53,
 136         0x1.5342b569d4f81p+0, 0x1.be1507893b0d5p-53,
 137         0x1.551a4ca5d920ep+0, 0x1.8a5d8c4048699p-53,
 138         0x1.56f4736b527dap+0, 0x1.9bb2c011d93adp-54,
 139         0x1.58d12d497c7fdp+0, 0x1.295e15b9a1de8p-55,
 140         0x1.5ab07dd485429p+0, 0x1.6324c054647adp-54,
 141         0x1.5c9268a5946b7p+0, 0x1.c4b1b816986a2p-60,
 142         0x1.5e76f15ad2148p+0, 0x1.ba6f93080e65ep-54,
 143         0x1.605e1b976dc08p+0, 0x1.60edeb25490dcp-53,
 144         0x1.6247eb03a5584p+0, 0x1.63e1f40dfa5b5p-53,
 145         0x1.6434634ccc31fp+0, 0x1.8edf0e2989db3p-53,
 146         0x1.6623882552224p+0, 0x1.224fb3c5371e6p-53,
 147         0x1.68155d44ca973p+0, 0x1.038ae44f73e65p-57,
 148         0x1.6a09e667f3bccp+0, 0x1.21165f626cdd5p-53,
 149         0x1.6c012750bdabep+0, 0x1.daed533001e9ep-53,
 150         0x1.6dfb23c651a2ep+0, 0x1.e441c597c3775p-53,
 151         0x1.6ff7df9519483p+0, 0x1.9f0fc369e7c42p-53,
 152         0x1.71f75e8ec5f73p+0, 0x1.ba46e1e5de15ap-53,
 153         0x1.73f9a48a58173p+0, 0x1.7ab9349cd1562p-53,
 154         0x1.75feb564267c8p+0, 0x1.7edd354674916p-53,
 155         0x1.780694fde5d3fp+0, 0x1.866b80a02162dp-54,
 156         0x1.7a11473eb0186p+0, 0x1.afaa2047ed9b4p-53,
 157         0x1.7c1ed0130c132p+0, 0x1.f124cd1164dd6p-54,
 158         0x1.7e2f336cf4e62p+0, 0x1.05d02ba15797ep-56,
 159         0x1.80427543e1a11p+0, 0x1.6c1bccec9346bp-53,
 160         0x1.82589994cce12p+0, 0x1.159f115f56694p-53,
 161         0x1.8471a4623c7acp+0, 0x1.9ca5ed72f8c81p-53,
 162         0x1.868d99b4492ecp+0, 0x1.01c83b21584a3p-53,
 163         0x1.88ac7d98a6699p+0, 0x1.994c2f37cb53ap-54,
 164         0x1.8ace5422aa0dbp+0, 0x1.6e9f156864b27p-54,
 165         0x1.8cf3216b5448bp+0, 0x1.de55439a2c38bp-53,
 166         0x1.8f1ae99157736p+0, 0x1.5cc13a2e3976cp-55,
 167         0x1.9145b0b91ffc5p+0, 0x1.114c368d3ed6ep-53,
 168         0x1.93737b0cdc5e4p+0, 0x1.e8a0387e4a814p-53,
 169         0x1.95a44cbc8520ep+0, 0x1.d36906d2b41f9p-53,
 170         0x1.97d829fde4e4fp+0, 0x1.173d241f23d18p-53,
 171         0x1.9a0f170ca07b9p+0, 0x1.7462137188ce7p-53,
 172         0x1.9c49182a3f090p+0, 0x1.c7c46b071f2bep-56,
 173         0x1.9e86319e32323p+0, 0x1.824ca78e64c6ep-56,
 174         0x1.a0c667b5de564p+0, 0x1.6535b51719567p-53,
 175         0x1.a309bec4a2d33p+0, 0x1.6305c7ddc36abp-54,
 176         0x1.a5503b23e255cp+0, 0x1.1684892395f0fp-53,
 177         0x1.a799e1330b358p+0, 0x1.bcb7ecac563c7p-54,
 178         0x1.a9e6b5579fdbfp+0, 0x1.0fac90ef7fd31p-54,
 179         0x1.ac36bbfd3f379p+0, 0x1.81b72cd4624ccp-53,
 180         0x1.ae89f995ad3adp+0, 0x1.7a1cd345dcc81p-54,
 181         0x1.b0e07298db665p+0, 0x1.2108559bf8deep-53,
 182         0x1.b33a2b84f15fap+0, 0x1.ed7fa1cf7b290p-53,
 183         0x1.b59728de55939p+0, 0x1.1c7102222c90ep-53,
 184         0x1.b7f76f2fb5e46p+0, 0x1.d54f610356a79p-53,
 185         0x1.ba5b030a10649p+0, 0x1.0819678d5eb69p-53,
 186         0x1.bcc1e904bc1d2p+0, 0x1.23dd07a2d9e84p-55,
 187         0x1.bf2c25bd71e08p+0, 0x1.0811ae04a31c7p-53,
 188         0x1.c199bdd85529cp+0, 0x1.11065895048ddp-55,
 189         0x1.c40ab5fffd07ap+0, 0x1.b4537e083c60ap-54,
 190         0x1.c67f12e57d14bp+0, 0x1.2884dff483cadp-54,
 191         0x1.c8f6d9406e7b5p+0, 0x1.1acbc48805c44p-56,
 192         0x1.cb720dcef9069p+0, 0x1.503cbd1e949dbp-56,
 193         0x1.cdf0b555dc3f9p+0, 0x1.889f12b1f58a3p-53,
 194         0x1.d072d4a07897bp+0, 0x1.1a1e45e4342b2p-53,
 195         0x1.d2f87080d89f1p+0, 0x1.15bc247313d44p-53,
 196         0x1.d5818dcfba487p+0, 0x1.2ed02d75b3707p-55,
 197         0x1.d80e316c98397p+0, 0x1.7709f3a09100cp-53,
 198         0x1.da9e603db3285p+0, 0x1.c2300696db532p-54,
 199         0x1.dd321f301b460p+0, 0x1.2da5778f018c3p-54,
 200         0x1.dfc97337b9b5ep+0, 0x1.72d195873da52p-53,
 201         0x1.e264614f5a128p+0, 0x1.424ec3f42f5b5p-53,
 202         0x1.e502ee78b3ff6p+0, 0x1.39e8980a9cc8fp-55,
 203         0x1.e7a51fbc74c83p+0, 0x1.2d522ca0c8de2p-54,
 204         0x1.ea4afa2a490d9p+0, 0x1.0b1ee7431ebb6p-53,
 205         0x1.ecf482d8e67f0p+0, 0x1.1b60625f7293ap-53,
 206         0x1.efa1bee615a27p+0, 0x1.dc7f486a4b6b0p-54,
 207         0x1.f252b376bba97p+0, 0x1.3a1a5bf0d8e43p-54,
 208         0x1.f50765b6e4540p+0, 0x1.9d3e12dd8a18bp-54,
 209         0x1.f7bfdad9cbe13p+0, 0x1.1227697fce57bp-53,
 210         0x1.fa7c1819e90d8p+0, 0x1.74853f3a5931ep-55,
 211         0x1.fd3c22b8f71f1p+0, 0x1.2eb74966579e7p-57
 212 };
 213
 214 /*
 215  * Kernel for expl(x).  x must be finite and not tiny or huge.
 216  * "tiny" is anything that would make us underflow (|A6*x^6| < ~LDBL_MIN).
 217  * "huge" is anything that would make fn*L1 inexact (|x| > ~2**17*ln2).
 218  */
 219 static inline void
 220 __k_expl(long double x, long double *hip, long double *lop, int *kp)
 221 {
 222         long double fn, q, r, r1, r2, t, z;
 223         int n, n2;
 224
 225         /* Reduce x to (k*ln2 + endpoint[n2] + r1 + r2). */
 226         /* Use a specialized rint() to get fn.  Assume round-to-nearest. */
 227         fn = x * INV_L + 0x1.8p63 - 0x1.8p63;
 228         r = x - fn * L1 - fn * L2;      /* r = r1 + r2 done independently. */
 229 #if defined(HAVE_EFFICIENT_IRINTL)
 230         n = irintl(fn);
 231 #elif defined(HAVE_EFFICIENT_IRINT)
 232         n = irint(fn);
 233 #else
 234         n = (int)fn;
 235 #endif
 236         n2 = (unsigned)n % INTERVALS;
 237         /* Depend on the sign bit being propagated: */
 238         *kp = n >> LOG2_INTERVALS;
 239         r1 = x - fn * L1;
 240         r2 = fn * -L2;
 241
 242         /* Evaluate expl(endpoint[n2] + r1 + r2) = tbl[n2] * expl(r1 + r2). */
 243         z = r * r;
 244 #if 0
 245         q = r2 + z * (A2 + r * A3) + z * z * (A4 + r * A5) + z * z * z * A6;
 246 #else
 247         q = r2 + z * A2 + z * r * (A3 + r * A4 + z * (A5 + r * A6));
 248 #endif
 249         t = (long double)tbl[n2].lo + tbl[n2].hi;
 250         *hip = tbl[n2].hi;
 251         *lop = tbl[n2].lo + t * (q + r1);
 252 }
 253
 254 static inline void
 255 k_hexpl(long double x, long double *hip, long double *lop)
 256 {
 257         float twopkm1;
 258         int k;
 259
 260         __k_expl(x, hip, lop, &k);
 261         SET_FLOAT_WORD(twopkm1, 0x3f800000 + ((k - 1) << 23));
 262         *hip *= twopkm1;
 263         *lop *= twopkm1;
 264 }
 265
 266 static inline long double
 267 hexpl(long double x)
 268 {
 269         long double hi, lo, twopkm2;
 270         int k;
 271
 272         twopkm2 = 1;
 273         __k_expl(x, &hi, &lo, &k);
 274         SET_LDBL_EXPSIGN(twopkm2, BIAS + k - 2);
 275         return (lo + hi) * 2 * twopkm2;
 276 }
 277
 278 #ifdef _COMPLEX_H
 279 /*
 280  * See ../src/k_exp.c for details.
 281  */
 282 static inline long double complex
 283 __ldexp_cexpl(long double complex z, int expt)
 284 {
 285         long double exp_x, hi, lo;
 286         long double x, y, scale1, scale2;
 287         int half_expt, k;
 288
 289         x = creall(z);
 290         y = cimagl(z);
 291         __k_expl(x, &hi, &lo, &k);
 292
 293         exp_x = (lo + hi) * 0x1p16382;
 294         expt += k - 16382;
 295
 296         scale1 = 1;
 297         half_expt = expt / 2;
 298         SET_LDBL_EXPSIGN(scale1, BIAS + half_expt);
 299         scale2 = 1;
 300         SET_LDBL_EXPSIGN(scale1, BIAS + expt - half_expt);
 301
 302         return (cpackl(cos(y) * exp_x * scale1 * scale2,
 303             sinl(y) * exp_x * scale1 * scale2));
 304 }
 305 #endif /* _COMPLEX_H */