lib/libm/src/s_cbrtl.c

   1 /*-
   2  * ====================================================
   3  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
   4  * Copyright (c) 2009-2011, Bruce D. Evans, Steven G. Kargl, David Schultz.
   5  *
   6  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
   7  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
   8  * software is freely granted, provided that this notice
   9  * is preserved.
  10  * ====================================================
  11  *
  12  * The argument reduction and testing for exceptional cases was
  13  * written by Steven G. Kargl with input from Bruce D. Evans
  14  * and David A. Schultz.
  15  *
  16  * $FreeBSD: head/lib/msun/src/s_cbrtl.c 238924 2012-07-30 21:58:28Z kargl $
  17  */
  18
  19 #include <float.h>
  20 #ifdef __i386__
  21 #include <ieeefp.h>
  22 #endif
  23
  24 #include "fpmath.h"
  25 #include "math.h"
  26 #include "math_private.h"
  27
  28 #define BIAS    (LDBL_MAX_EXP - 1)
  29
  30 static const unsigned
  31     B1 = 709958130;     /* B1 = (127-127.0/3-0.03306235651)*2**23 */
  32
  33 long double
  34 cbrtl(long double x)
  35 {
  36         union IEEEl2bits u, v;
  37         long double r, s, t, w;
  38         double dr, dt, dx;
  39         float ft, fx;
  40         uint32_t hx;
  41         uint16_t expsign;
  42         int k;
  43
  44         u.e = x;
  45         expsign = u.xbits.expsign;
  46         k = expsign & 0x7fff;
  47
  48         /*
  49          * If x = +-Inf, then cbrt(x) = +-Inf.
  50          * If x = NaN, then cbrt(x) = NaN.
  51          */
  52         if (k == BIAS + LDBL_MAX_EXP)
  53                 return (x + x);
  54
  55         ENTERI();
  56         if (k == 0) {
  57                 /* If x = +-0, then cbrt(x) = +-0. */
  58                 if ((u.bits.manh | u.bits.manl) == 0)
  59                         RETURNI(x);
  60                 /* Adjust subnormal numbers. */
  61                 u.e *= 0x1.0p514;
  62                 k = u.bits.exp;
  63                 k -= BIAS + 514;
  64         } else
  65                 k -= BIAS;
  66         u.xbits.expsign = BIAS;
  67         v.e = 1;
  68
  69         x = u.e;
  70         switch (k % 3) {
  71         case 1:
  72         case -2:
  73                 x = 2*x;
  74                 k--;
  75                 break;
  76         case 2:
  77         case -1:
  78                 x = 4*x;
  79                 k -= 2;
  80                 break;
  81         }
  82         v.xbits.expsign = (expsign & 0x8000) | (BIAS + k / 3);
  83
  84         /*
  85          * The following is the guts of s_cbrtf, with the handling of
  86          * special values removed and extra care for accuracy not taken,
  87          * but with most of the extra accuracy not discarded.
  88          */
  89
  90         /* ~5-bit estimate: */
  91         fx = x;
  92         GET_FLOAT_WORD(hx, fx);
  93         SET_FLOAT_WORD(ft, ((hx & 0x7fffffff) / 3 + B1));
  94
  95         /* ~16-bit estimate: */
  96         dx = x;
  97         dt = ft;
  98         dr = dt * dt * dt;
  99         dt = dt * (dx + dx + dr) / (dx + dr + dr);
 100
 101         /* ~47-bit estimate: */
 102         dr = dt * dt * dt;
 103         dt = dt * (dx + dx + dr) / (dx + dr + dr);
 104
 105 #if LDBL_MANT_DIG == 64
 106         /*
 107          * dt is cbrtl(x) to ~47 bits (after x has been reduced to 1 <= x < 8).
 108          * Round it away from zero to 32 bits (32 so that t*t is exact, and
 109          * away from zero for technical reasons).
 110          */
 111         volatile double vd2 = 0x1.0p32;
 112         volatile double vd1 = 0x1.0p-31;
 113         #define vd ((long double)vd2 + vd1)
 114
 115         t = dt + vd - 0x1.0p32;
 116 #elif LDBL_MANT_DIG == 113
 117         /*
 118          * Round dt away from zero to 47 bits.  Since we don't trust the 47,
 119          * add 2 47-bit ulps instead of 1 to round up.  Rounding is slow and
 120          * might be avoidable in this case, since on most machines dt will
 121          * have been evaluated in 53-bit precision and the technical reasons
 122          * for rounding up might not apply to either case in cbrtl() since
 123          * dt is much more accurate than needed.
 124          */
 125         t = dt + 0x2.0p-46 + 0x1.0p60L - 0x1.0p60;
 126 #else
 127 #error "Unsupported long double format"
 128 #endif
 129
 130         /*
 131          * Final step Newton iteration to 64 or 113 bits with
 132          * error < 0.667 ulps
 133          */
 134         s=t*t;                          /* t*t is exact */
 135         r=x/s;                          /* error <= 0.5 ulps; |r| < |t| */
 136         w=t+t;                          /* t+t is exact */
 137         r=(r-t)/(w+r);                  /* r-t is exact; w+r ~= 3*t */
 138         t=t+t*r;                        /* error <= 0.5 + 0.5/3 + epsilon */
 139
 140         t *= v.e;
 141         RETURNI(t);
 142 }