lib/libm/common_source/gamma.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 1992, 1993
   3  *      The Regents of the University of California.  All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
  10  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  11  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  12  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  13  * 3. All advertising materials mentioning features or use of this software
  14  *    must display the following acknowledgement:
  15  *      This product includes software developed by the University of
  16  *      California, Berkeley and its contributors.
  17  * 4. Neither the name of the University nor the names of its contributors
  18  *    may be used to endorse or promote products derived from this software
  19  *    without specific prior written permission.
  20  *
  21  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE REGENTS AND CONTRIBUTORS ``AS IS'' AND
  22  * ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
  23  * IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE
  24  * ARE DISCLAIMED.  IN NO EVENT SHALL THE REGENTS OR CONTRIBUTORS BE LIABLE
  25  * FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL
  26  * DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS
  27  * OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
  28  * HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT
  29  * LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
  30  * OUT OF THE USE OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF
  31  * SUCH DAMAGE.
  32  *
  33  * @(#)gamma.c  8.1 (Berkeley) 6/4/93
  34  */
  35
  36 /*
  37  * This code by P. McIlroy, Oct 1992;
  38  *
  39  * The financial support of UUNET Communications Services is greatfully
  40  * acknowledged.
  41  */
  42
  43 #include <math.h>
  44 #include "mathimpl.h"
  45 #include <errno.h>
  46
  47 /* METHOD:
  48  * x < 0: Use reflection formula, G(x) = pi/(sin(pi*x)*x*G(x))
  49  *      At negative integers, return +Inf, and set errno.
  50  *
  51  * x < 6.5:
  52  *      Use argument reduction G(x+1) = xG(x) to reach the
  53  *      range [1.066124,2.066124].  Use a rational
  54  *      approximation centered at the minimum (x0+1) to
  55  *      ensure monotonicity.
  56  *
  57  * x >= 6.5: Use the asymptotic approximation (Stirling's formula)
  58  *      adjusted for equal-ripples:
  59  *
  60  *      log(G(x)) ~= (x-.5)*(log(x)-1) + .5(log(2*pi)-1) + 1/x*P(1/(x*x))
  61  *
  62  *      Keep extra precision in multiplying (x-.5)(log(x)-1), to
  63  *      avoid premature round-off.
  64  *
  65  * Special values:
  66  *      non-positive integer:   Set overflow trap; return +Inf;
  67  *      x > 171.63:             Set overflow trap; return +Inf;
  68  *      NaN:                    Set invalid trap;  return NaN
  69  *
  70  * Accuracy: Gamma(x) is accurate to within
  71  *      x > 0:  error provably < 0.9ulp.
  72  *      Maximum observed in 1,000,000 trials was .87ulp.
  73  *      x < 0:
  74  *      Maximum observed error < 4ulp in 1,000,000 trials.
  75  */
  76
  77 static double neg_gam __P((double));
  78 static double small_gam __P((double));
  79 static double smaller_gam __P((double));
  80 static struct Double large_gam __P((double));
  81 static struct Double ratfun_gam __P((double, double));
  82
  83 /*
  84  * Rational approximation, A0 + x*x*P(x)/Q(x), on the interval
  85  * [1.066.., 2.066..] accurate to 4.25e-19.
  86  */
  87 #define LEFT -.3955078125       /* left boundary for rat. approx */
  88 #define x0 .461632144968362356785       /* xmin - 1 */
  89
  90 #define a0_hi 0.88560319441088874992
  91 #define a0_lo -.00000000000000004996427036469019695
  92 #define P0       6.21389571821820863029017800727e-01
  93 #define P1       2.65757198651533466104979197553e-01
  94 #define P2       5.53859446429917461063308081748e-03
  95 #define P3       1.38456698304096573887145282811e-03
  96 #define P4       2.40659950032711365819348969808e-03
  97 #define Q0       1.45019531250000000000000000000e+00
  98 #define Q1       1.06258521948016171343454061571e+00
  99 #define Q2      -2.07474561943859936441469926649e-01
 100 #define Q3      -1.46734131782005422506287573015e-01
 101 #define Q4       3.07878176156175520361557573779e-02
 102 #define Q5       5.12449347980666221336054633184e-03
 103 #define Q6      -1.76012741431666995019222898833e-03
 104 #define Q7       9.35021023573788935372153030556e-05
 105 #define Q8       6.13275507472443958924745652239e-06
 106 /*
 107  * Constants for large x approximation (x in [6, Inf])
 108  * (Accurate to 2.8*10^-19 absolute)
 109  */
 110 #define lns2pi_hi 0.418945312500000
 111 #define lns2pi_lo -.000006779295327258219670263595
 112 #define Pa0      8.33333333333333148296162562474e-02
 113 #define Pa1     -2.77777777774548123579378966497e-03
 114 #define Pa2      7.93650778754435631476282786423e-04
 115 #define Pa3     -5.95235082566672847950717262222e-04
 116 #define Pa4      8.41428560346653702135821806252e-04
 117 #define Pa5     -1.89773526463879200348872089421e-03
 118 #define Pa6      5.69394463439411649408050664078e-03
 119 #define Pa7     -1.44705562421428915453880392761e-02
 120
 121 static const double zero = 0., one = 1.0, tiny = 1e-300;
 122 static int endian;
 123 /*
 124  * TRUNC sets trailing bits in a floating-point number to zero.
 125  * is a temporary variable.
 126  */
 127 #if defined(vax) || defined(tahoe)
 128 #define _IEEE           0
 129 #define TRUNC(x)        x = (double) (float) (x)
 130 #else
 131 #define _IEEE           1
 132 #define TRUNC(x)        *(((int *) &x) + endian) &= 0xf8000000
 133 #define infnan(x)       0.0
 134 #endif
 135
 136 double
 137 gamma(x)
 138         double x;
 139 {
 140         struct Double u;
 141         endian = (*(int *) &one) ? 1 : 0;
 142
 143         if (x >= 6) {
 144                 if(x > 171.63)
 145                         return(one/zero);
 146                 u = large_gam(x);
 147                 return(__exp__D(u.a, u.b));
 148         } else if (x >= 1.0 + LEFT + x0)
 149                 return (small_gam(x));
 150         else if (x > 1.e-17)
 151                 return (smaller_gam(x));
 152         else if (x > -1.e-17) {
 153                 if (x == 0.0)
 154                         if (!_IEEE) return (infnan(ERANGE));
 155                         else return (one/x);
 156                 one+1e-20;              /* Raise inexact flag. */
 157                 return (one/x);
 158         } else if (!finite(x)) {
 159                 if (_IEEE)              /* x = NaN, -Inf */
 160                         return (x*x);
 161                 else
 162                         return (infnan(EDOM));
 163          } else
 164                 return (neg_gam(x));
 165 }
 166 /*
 167  * Accurate to max(ulp(1/128) absolute, 2^-66 relative) error.
 168  */
 169 static struct Double
 170 large_gam(x)
 171         double x;
 172 {
 173         double z, p;
 174         int i;
 175         struct Double t, u, v;
 176
 177         z = one/(x*x);
 178         p = Pa0+z*(Pa1+z*(Pa2+z*(Pa3+z*(Pa4+z*(Pa5+z*(Pa6+z*Pa7))))));
 179         p = p/x;
 180
 181         u = __log__D(x);
 182         u.a -= one;
 183         v.a = (x -= .5);
 184         TRUNC(v.a);
 185         v.b = x - v.a;
 186         t.a = v.a*u.a;                  /* t = (x-.5)*(log(x)-1) */
 187         t.b = v.b*u.a + x*u.b;
 188         /* return t.a + t.b + lns2pi_hi + lns2pi_lo + p */
 189         t.b += lns2pi_lo; t.b += p;
 190         u.a = lns2pi_hi + t.b; u.a += t.a;
 191         u.b = t.a - u.a;
 192         u.b += lns2pi_hi; u.b += t.b;
 193         return (u);
 194 }
 195 /*
 196  * Good to < 1 ulp.  (provably .90 ulp; .87 ulp on 1,000,000 runs.)
 197  * It also has correct monotonicity.
 198  */
 199 static double
 200 small_gam(x)
 201         double x;
 202 {
 203         double y, ym1, t, x1;
 204         struct Double yy, r;
 205         y = x - one;
 206         ym1 = y - one;
 207         if (y <= 1.0 + (LEFT + x0)) {
 208                 yy = ratfun_gam(y - x0, 0);
 209                 return (yy.a + yy.b);
 210         }
 211         r.a = y;
 212         TRUNC(r.a);
 213         yy.a = r.a - one;
 214         y = ym1;
 215         yy.b = r.b = y - yy.a;
 216         /* Argument reduction: G(x+1) = x*G(x) */
 217         for (ym1 = y-one; ym1 > LEFT + x0; y = ym1--, yy.a--) {
 218                 t = r.a*yy.a;
 219                 r.b = r.a*yy.b + y*r.b;
 220                 r.a = t;
 221                 TRUNC(r.a);
 222                 r.b += (t - r.a);
 223         }
 224         /* Return r*gamma(y). */
 225         yy = ratfun_gam(y - x0, 0);
 226         y = r.b*(yy.a + yy.b) + r.a*yy.b;
 227         y += yy.a*r.a;
 228         return (y);
 229 }
 230 /*
 231  * Good on (0, 1+x0+LEFT].  Accurate to 1ulp.
 232  */
 233 static double
 234 smaller_gam(x)
 235         double x;
 236 {
 237         double t, d;
 238         struct Double r, xx;
 239         if (x < x0 + LEFT) {
 240                 t = x, TRUNC(t);
 241                 d = (t+x)*(x-t);
 242                 t *= t;
 243                 xx.a = (t + x), TRUNC(xx.a);
 244                 xx.b = x - xx.a; xx.b += t; xx.b += d;
 245                 t = (one-x0); t += x;
 246                 d = (one-x0); d -= t; d += x;
 247                 x = xx.a + xx.b;
 248         } else {
 249                 xx.a =  x, TRUNC(xx.a);
 250                 xx.b = x - xx.a;
 251                 t = x - x0;
 252                 d = (-x0 -t); d += x;
 253         }
 254         r = ratfun_gam(t, d);
 255         d = r.a/x, TRUNC(d);
 256         r.a -= d*xx.a; r.a -= d*xx.b; r.a += r.b;
 257         return (d + r.a/x);
 258 }
 259 /*
 260  * returns (z+c)^2 * P(z)/Q(z) + a0
 261  */
 262 static struct Double
 263 ratfun_gam(z, c)
 264         double z, c;
 265 {
 266         int i;
 267         double p, q;
 268         struct Double r, t;
 269
 270         q = Q0 +z*(Q1+z*(Q2+z*(Q3+z*(Q4+z*(Q5+z*(Q6+z*(Q7+z*Q8)))))));
 271         p = P0 + z*(P1 + z*(P2 + z*(P3 + z*P4)));
 272
 273         /* return r.a + r.b = a0 + (z+c)^2*p/q, with r.a truncated to 26 bits. */
 274         p = p/q;
 275         t.a = z, TRUNC(t.a);            /* t ~= z + c */
 276         t.b = (z - t.a) + c;
 277         t.b *= (t.a + z);
 278         q = (t.a *= t.a);               /* t = (z+c)^2 */
 279         TRUNC(t.a);
 280         t.b += (q - t.a);
 281         r.a = p, TRUNC(r.a);            /* r = P/Q */
 282         r.b = p - r.a;
 283         t.b = t.b*p + t.a*r.b + a0_lo;
 284         t.a *= r.a;                     /* t = (z+c)^2*(P/Q) */
 285         r.a = t.a + a0_hi, TRUNC(r.a);
 286         r.b = ((a0_hi-r.a) + t.a) + t.b;
 287         return (r);                     /* r = a0 + t */
 288 }
 289
 290 static double
 291 neg_gam(x)
 292         double x;
 293 {
 294         int sgn = 1;
 295         struct Double lg, lsine;
 296         double y, z;
 297
 298         y = floor(x + .5);
 299         if (y == x)             /* Negative integer. */
 300                 if(!_IEEE)
 301                         return (infnan(ERANGE));
 302                 else
 303                         return (one/zero);
 304         z = fabs(x - y);
 305         y = .5*ceil(x);
 306         if (y == ceil(y))
 307                 sgn = -1;
 308         if (z < .25)
 309                 z = sin(M_PI*z);
 310         else
 311                 z = cos(M_PI*(0.5-z));
 312         /* Special case: G(1-x) = Inf; G(x) may be nonzero. */
 313         if (x < -170) {
 314                 if (x < -190)
 315                         return ((double)sgn*tiny*tiny);
 316                 y = one - x;            /* exact: 128 < |x| < 255 */
 317                 lg = large_gam(y);
 318                 lsine = __log__D(M_PI/z);       /* = TRUNC(log(u)) + small */
 319                 lg.a -= lsine.a;                /* exact (opposite signs) */
 320                 lg.b -= lsine.b;
 321                 y = -(lg.a + lg.b);
 322                 z = (y + lg.a) + lg.b;
 323                 y = __exp__D(y, z);
 324                 if (sgn < 0) y = -y;
 325                 return (y);
 326         }
 327         y = one-x;
 328         if (one-y == x)
 329                 y = gamma(y);
 330         else            /* 1-x is inexact */
 331                 y = -x*gamma(-x);
 332         if (sgn < 0) y = -y;
 333         return (M_PI / (y*z));
 334 }