lib/libm/common_source/j0.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 1992, 1993
   3  *      The Regents of the University of California.  All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
  10  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  11  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  12  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  13  * 3. All advertising materials mentioning features or use of this software
  14  *    must display the following acknowledgement:
  15  *      This product includes software developed by the University of
  16  *      California, Berkeley and its contributors.
  17  * 4. Neither the name of the University nor the names of its contributors
  18  *    may be used to endorse or promote products derived from this software
  19  *    without specific prior written permission.
  20  *
  21  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE REGENTS AND CONTRIBUTORS ``AS IS'' AND
  22  * ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
  23  * IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE
  24  * ARE DISCLAIMED.  IN NO EVENT SHALL THE REGENTS OR CONTRIBUTORS BE LIABLE
  25  * FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL
  26  * DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS
  27  * OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
  28  * HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT
  29  * LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
  30  * OUT OF THE USE OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF
  31  * SUCH DAMAGE.
  32  *
  33  * @(#)j0.c     8.2 (Berkeley) 11/30/93
  34  */
  35
  36 /*
  37  * 16 December 1992
  38  * Minor modifications by Peter McIlroy to adapt non-IEEE architecture.
  39  */
  40
  41 /*
  42  * ====================================================
  43  * Copyright (C) 1992 by Sun Microsystems, Inc.
  44  *
  45  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
  46  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
  47  * software is freely granted, provided that this notice
  48  * is preserved.
  49  * ====================================================
  50  *
  51  * ******************* WARNING ********************
  52  * This is an alpha version of SunPro's FDLIBM (Freely
  53  * Distributable Math Library) for IEEE double precision
  54  * arithmetic. FDLIBM is a basic math library written
  55  * in C that runs on machines that conform to IEEE
  56  * Standard 754/854. This alpha version is distributed
  57  * for testing purpose. Those who use this software
  58  * should report any bugs to
  59  *
  60  *              fdlibm-comments@sunpro.eng.sun.com
  61  *
  62  * -- K.C. Ng, Oct 12, 1992
  63  * ************************************************
  64  */
  65
  66 /* double j0(double x), y0(double x)
  67  * Bessel function of the first and second kinds of order zero.
  68  * Method -- j0(x):
  69  *      1. For tiny x, we use j0(x) = 1 - x^2/4 + x^4/64 - ...
  70  *      2. Reduce x to |x| since j0(x)=j0(-x),  and
  71  *         for x in (0,2)
  72  *              j0(x) = 1-z/4+ z^2*R0/S0,  where z = x*x;
  73  *         (precision:  |j0-1+z/4-z^2R0/S0 |<2**-63.67 )
  74  *         for x in (2,inf)
  75  *              j0(x) = sqrt(2/(pi*x))*(p0(x)*cos(x0)-q0(x)*sin(x0))
  76  *         where x0 = x-pi/4. It is better to compute sin(x0),cos(x0)
  77  *         as follow:
  78  *              cos(x0) = cos(x)cos(pi/4)+sin(x)sin(pi/4)
  79  *                      = 1/sqrt(2) * (cos(x) + sin(x))
  80  *              sin(x0) = sin(x)cos(pi/4)-cos(x)sin(pi/4)
  81  *                      = 1/sqrt(2) * (sin(x) - cos(x))
  82  *         (To avoid cancellation, use
  83  *              sin(x) +- cos(x) = -cos(2x)/(sin(x) -+ cos(x))
  84  *          to compute the worse one.)
  85  *
  86  *      3 Special cases
  87  *              j0(nan)= nan
  88  *              j0(0) = 1
  89  *              j0(inf) = 0
  90  *
  91  * Method -- y0(x):
  92  *      1. For x<2.
  93  *         Since
  94  *              y0(x) = 2/pi*(j0(x)*(ln(x/2)+Euler) + x^2/4 - ...)
  95  *         therefore y0(x)-2/pi*j0(x)*ln(x) is an even function.
  96  *         We use the following function to approximate y0,
  97  *              y0(x) = U(z)/V(z) + (2/pi)*(j0(x)*ln(x)), z= x^2
  98  *         where
  99  *              U(z) = u0 + u1*z + ... + u6*z^6
 100  *              V(z) = 1  + v1*z + ... + v4*z^4
 101  *         with absolute approximation error bounded by 2**-72.
 102  *         Note: For tiny x, U/V = u0 and j0(x)~1, hence
 103  *              y0(tiny) = u0 + (2/pi)*ln(tiny), (choose tiny<2**-27)
 104  *      2. For x>=2.
 105  *              y0(x) = sqrt(2/(pi*x))*(p0(x)*cos(x0)+q0(x)*sin(x0))
 106  *         where x0 = x-pi/4. It is better to compute sin(x0),cos(x0)
 107  *         by the method mentioned above.
 108  *      3. Special cases: y0(0)=-inf, y0(x<0)=NaN, y0(inf)=0.
 109  */
 110
 111 #include <math.h>
 112 #include <float.h>
 113 #if defined(vax) || defined(tahoe)
 114 #define _IEEE   0
 115 #else
 116 #define _IEEE   1
 117 #define infnan(x) (0.0)
 118 #endif
 119
 120 static double pzero __P((double)), qzero __P((double));
 121
 122 static double
 123 huge    = 1e300,
 124 zero    = 0.0,
 125 one     = 1.0,
 126 invsqrtpi= 5.641895835477562869480794515607725858441e-0001,
 127 tpi     = 0.636619772367581343075535053490057448,
 128                 /* R0/S0 on [0, 2.00] */
 129 r02 =   1.562499999999999408594634421055018003102e-0002,
 130 r03 =  -1.899792942388547334476601771991800712355e-0004,
 131 r04 =   1.829540495327006565964161150603950916854e-0006,
 132 r05 =  -4.618326885321032060803075217804816988758e-0009,
 133 s01 =   1.561910294648900170180789369288114642057e-0002,
 134 s02 =   1.169267846633374484918570613449245536323e-0004,
 135 s03 =   5.135465502073181376284426245689510134134e-0007,
 136 s04 =   1.166140033337900097836930825478674320464e-0009;
 137
 138 double
 139 j0(x)
 140         double x;
 141 {
 142         double z, s,c,ss,cc,r,u,v;
 143
 144         if (!finite(x))
 145                 if (_IEEE) return one/(x*x);
 146                 else return (0);
 147         x = fabs(x);
 148         if (x >= 2.0) { /* |x| >= 2.0 */
 149                 s = sin(x);
 150                 c = cos(x);
 151                 ss = s-c;
 152                 cc = s+c;
 153                 if (x < .5 * DBL_MAX) {  /* make sure x+x not overflow */
 154                     z = -cos(x+x);
 155                     if ((s*c)<zero) cc = z/ss;
 156                     else            ss = z/cc;
 157                 }
 158         /*
 159          * j0(x) = 1/sqrt(pi) * (P(0,x)*cc - Q(0,x)*ss) / sqrt(x)
 160          * y0(x) = 1/sqrt(pi) * (P(0,x)*ss + Q(0,x)*cc) / sqrt(x)
 161          */
 162                 if (_IEEE && x> 6.80564733841876927e+38) /* 2^129 */
 163                         z = (invsqrtpi*cc)/sqrt(x);
 164                 else {
 165                     u = pzero(x); v = qzero(x);
 166                     z = invsqrtpi*(u*cc-v*ss)/sqrt(x);
 167                 }
 168                 return z;
 169         }
 170         if (x < 1.220703125e-004) {                /* |x| < 2**-13 */
 171             if (huge+x > one) {                    /* raise inexact if x != 0 */
 172                 if (x < 7.450580596923828125e-009) /* |x|<2**-27 */
 173                         return one;
 174                 else return (one - 0.25*x*x);
 175             }
 176         }
 177         z = x*x;
 178         r =  z*(r02+z*(r03+z*(r04+z*r05)));
 179         s =  one+z*(s01+z*(s02+z*(s03+z*s04)));
 180         if (x < one) {                  /* |x| < 1.00 */
 181             return (one + z*(-0.25+(r/s)));
 182         } else {
 183             u = 0.5*x;
 184             return ((one+u)*(one-u)+z*(r/s));
 185         }
 186 }
 187
 188 static double
 189 u00 =  -7.380429510868722527422411862872999615628e-0002,
 190 u01 =   1.766664525091811069896442906220827182707e-0001,
 191 u02 =  -1.381856719455968955440002438182885835344e-0002,
 192 u03 =   3.474534320936836562092566861515617053954e-0004,
 193 u04 =  -3.814070537243641752631729276103284491172e-0006,
 194 u05 =   1.955901370350229170025509706510038090009e-0008,
 195 u06 =  -3.982051941321034108350630097330144576337e-0011,
 196 v01 =   1.273048348341237002944554656529224780561e-0002,
 197 v02 =   7.600686273503532807462101309675806839635e-0005,
 198 v03 =   2.591508518404578033173189144579208685163e-0007,
 199 v04 =   4.411103113326754838596529339004302243157e-0010;
 200
 201 double
 202 y0(x)
 203         double x;
 204 {
 205         double z, s, c, ss, cc, u, v;
 206     /* Y0(NaN) is NaN, y0(-inf) is Nan, y0(inf) is 0  */
 207         if (!finite(x))
 208                 if (_IEEE)
 209                         return (one/(x+x*x));
 210                 else
 211                         return (0);
 212         if (x == 0)
 213                 if (_IEEE)      return (-one/zero);
 214                 else            return(infnan(-ERANGE));
 215         if (x<0)
 216                 if (_IEEE)      return (zero/zero);
 217                 else            return (infnan(EDOM));
 218         if (x >= 2.00) {        /* |x| >= 2.0 */
 219         /* y0(x) = sqrt(2/(pi*x))*(p0(x)*sin(x0)+q0(x)*cos(x0))
 220          * where x0 = x-pi/4
 221          *      Better formula:
 222          *              cos(x0) = cos(x)cos(pi/4)+sin(x)sin(pi/4)
 223          *                      =  1/sqrt(2) * (sin(x) + cos(x))
 224          *              sin(x0) = sin(x)cos(3pi/4)-cos(x)sin(3pi/4)
 225          *                      =  1/sqrt(2) * (sin(x) - cos(x))
 226          * To avoid cancellation, use
 227          *              sin(x) +- cos(x) = -cos(2x)/(sin(x) -+ cos(x))
 228          * to compute the worse one.
 229          */
 230                 s = sin(x);
 231                 c = cos(x);
 232                 ss = s-c;
 233                 cc = s+c;
 234         /*
 235          * j0(x) = 1/sqrt(pi) * (P(0,x)*cc - Q(0,x)*ss) / sqrt(x)
 236          * y0(x) = 1/sqrt(pi) * (P(0,x)*ss + Q(0,x)*cc) / sqrt(x)
 237          */
 238                 if (x < .5 * DBL_MAX) {  /* make sure x+x not overflow */
 239                     z = -cos(x+x);
 240                     if ((s*c)<zero) cc = z/ss;
 241                     else            ss = z/cc;
 242                 }
 243                 if (_IEEE && x > 6.80564733841876927e+38) /* > 2^129 */
 244                         z = (invsqrtpi*ss)/sqrt(x);
 245                 else {
 246                     u = pzero(x); v = qzero(x);
 247                     z = invsqrtpi*(u*ss+v*cc)/sqrt(x);
 248                 }
 249                 return z;
 250         }
 251         if (x <= 7.450580596923828125e-009) {           /* x < 2**-27 */
 252             return (u00 + tpi*log(x));
 253         }
 254         z = x*x;
 255         u = u00+z*(u01+z*(u02+z*(u03+z*(u04+z*(u05+z*u06)))));
 256         v = one+z*(v01+z*(v02+z*(v03+z*v04)));
 257         return (u/v + tpi*(j0(x)*log(x)));
 258 }
 259
 260 /* The asymptotic expansions of pzero is
 261  *      1 - 9/128 s^2 + 11025/98304 s^4 - ...,  where s = 1/x.
 262  * For x >= 2, We approximate pzero by
 263  *      pzero(x) = 1 + (R/S)
 264  * where  R = pr0 + pr1*s^2 + pr2*s^4 + ... + pr5*s^10
 265  *        S = 1 + ps0*s^2 + ... + ps4*s^10
 266  * and
 267  *      | pzero(x)-1-R/S | <= 2  ** ( -60.26)
 268  */
 269 static double pr8[6] = { /* for x in [inf, 8]=1/[0,0.125] */
 270    0.0,
 271   -7.031249999999003994151563066182798210142e-0002,
 272   -8.081670412753498508883963849859423939871e+0000,
 273   -2.570631056797048755890526455854482662510e+0002,
 274   -2.485216410094288379417154382189125598962e+0003,
 275   -5.253043804907295692946647153614119665649e+0003,
 276 };
 277 static double ps8[5] = {
 278    1.165343646196681758075176077627332052048e+0002,
 279    3.833744753641218451213253490882686307027e+0003,
 280    4.059785726484725470626341023967186966531e+0004,
 281    1.167529725643759169416844015694440325519e+0005,
 282    4.762772841467309430100106254805711722972e+0004,
 283 };
 284
 285 static double pr5[6] = { /* for x in [8,4.5454]=1/[0.125,0.22001] */
 286   -1.141254646918944974922813501362824060117e-0011,
 287   -7.031249408735992804117367183001996028304e-0002,
 288   -4.159610644705877925119684455252125760478e+0000,
 289   -6.767476522651671942610538094335912346253e+0001,
 290   -3.312312996491729755731871867397057689078e+0002,
 291   -3.464333883656048910814187305901796723256e+0002,
 292 };
 293 static double ps5[5] = {
 294    6.075393826923003305967637195319271932944e+0001,
 295    1.051252305957045869801410979087427910437e+0003,
 296    5.978970943338558182743915287887408780344e+0003,
 297    9.625445143577745335793221135208591603029e+0003,
 298    2.406058159229391070820491174867406875471e+0003,
 299 };
 300
 301 static double pr3[6] = {/* for x in [4.547,2.8571]=1/[0.2199,0.35001] */
 302   -2.547046017719519317420607587742992297519e-0009,
 303   -7.031196163814817199050629727406231152464e-0002,
 304   -2.409032215495295917537157371488126555072e+0000,
 305   -2.196597747348830936268718293366935843223e+0001,
 306   -5.807917047017375458527187341817239891940e+0001,
 307   -3.144794705948885090518775074177485744176e+0001,
 308 };
 309 static double ps3[5] = {
 310    3.585603380552097167919946472266854507059e+0001,
 311    3.615139830503038919981567245265266294189e+0002,
 312    1.193607837921115243628631691509851364715e+0003,
 313    1.127996798569074250675414186814529958010e+0003,
 314    1.735809308133357510239737333055228118910e+0002,
 315 };
 316
 317 static double pr2[6] = {/* for x in [2.8570,2]=1/[0.3499,0.5] */
 318   -8.875343330325263874525704514800809730145e-0008,
 319   -7.030309954836247756556445443331044338352e-0002,
 320   -1.450738467809529910662233622603401167409e+0000,
 321   -7.635696138235277739186371273434739292491e+0000,
 322   -1.119316688603567398846655082201614524650e+0001,
 323   -3.233645793513353260006821113608134669030e+0000,
 324 };
 325 static double ps2[5] = {
 326    2.222029975320888079364901247548798910952e+0001,
 327    1.362067942182152109590340823043813120940e+0002,
 328    2.704702786580835044524562897256790293238e+0002,
 329    1.538753942083203315263554770476850028583e+0002,
 330    1.465761769482561965099880599279699314477e+0001,
 331 };
 332
 333 static double pzero(x)
 334         double x;
 335 {
 336         double *p,*q,z,r,s;
 337         if (x >= 8.00)                     {p = pr8; q= ps8;}
 338         else if (x >= 4.54545211791992188) {p = pr5; q= ps5;}
 339         else if (x >= 2.85714149475097656) {p = pr3; q= ps3;}
 340         else if (x >= 2.00)                {p = pr2; q= ps2;}
 341         z = one/(x*x);
 342         r = p[0]+z*(p[1]+z*(p[2]+z*(p[3]+z*(p[4]+z*p[5]))));
 343         s = one+z*(q[0]+z*(q[1]+z*(q[2]+z*(q[3]+z*q[4]))));
 344         return one+ r/s;
 345 }
 346
 347
 348 /* For x >= 8, the asymptotic expansions of qzero is
 349  *      -1/8 s + 75/1024 s^3 - ..., where s = 1/x.
 350  * We approximate pzero by
 351  *      qzero(x) = s*(-1.25 + (R/S))
 352  * where  R = qr0 + qr1*s^2 + qr2*s^4 + ... + qr5*s^10
 353  *        S = 1 + qs0*s^2 + ... + qs5*s^12
 354  * and
 355  *      | qzero(x)/s +1.25-R/S | <= 2  ** ( -61.22)
 356  */
 357 static double qr8[6] = { /* for x in [inf, 8]=1/[0,0.125] */
 358    0.0,
 359    7.324218749999350414479738504551775297096e-0002,
 360    1.176820646822526933903301695932765232456e+0001,
 361    5.576733802564018422407734683549251364365e+0002,
 362    8.859197207564685717547076568608235802317e+0003,
 363    3.701462677768878501173055581933725704809e+0004,
 364 };
 365 static double qs8[6] = {
 366    1.637760268956898345680262381842235272369e+0002,
 367    8.098344946564498460163123708054674227492e+0003,
 368    1.425382914191204905277585267143216379136e+0005,
 369    8.033092571195144136565231198526081387047e+0005,
 370    8.405015798190605130722042369969184811488e+0005,
 371   -3.438992935378666373204500729736454421006e+0005,
 372 };
 373
 374 static double qr5[6] = { /* for x in [8,4.5454]=1/[0.125,0.22001] */
 375    1.840859635945155400568380711372759921179e-0011,
 376    7.324217666126847411304688081129741939255e-0002,
 377    5.835635089620569401157245917610984757296e+0000,
 378    1.351115772864498375785526599119895942361e+0002,
 379    1.027243765961641042977177679021711341529e+0003,
 380    1.989977858646053872589042328678602481924e+0003,
 381 };
 382 static double qs5[6] = {
 383    8.277661022365377058749454444343415524509e+0001,
 384    2.077814164213929827140178285401017305309e+0003,
 385    1.884728877857180787101956800212453218179e+0004,
 386    5.675111228949473657576693406600265778689e+0004,
 387    3.597675384251145011342454247417399490174e+0004,
 388   -5.354342756019447546671440667961399442388e+0003,
 389 };
 390
 391 static double qr3[6] = {/* for x in [4.547,2.8571]=1/[0.2199,0.35001] */
 392    4.377410140897386263955149197672576223054e-0009,
 393    7.324111800429115152536250525131924283018e-0002,
 394    3.344231375161707158666412987337679317358e+0000,
 395    4.262184407454126175974453269277100206290e+0001,
 396    1.708080913405656078640701512007621675724e+0002,
 397    1.667339486966511691019925923456050558293e+0002,
 398 };
 399 static double qs3[6] = {
 400    4.875887297245871932865584382810260676713e+0001,
 401    7.096892210566060535416958362640184894280e+0002,
 402    3.704148226201113687434290319905207398682e+0003,
 403    6.460425167525689088321109036469797462086e+0003,
 404    2.516333689203689683999196167394889715078e+0003,
 405   -1.492474518361563818275130131510339371048e+0002,
 406 };
 407
 408 static double qr2[6] = {/* for x in [2.8570,2]=1/[0.3499,0.5] */
 409    1.504444448869832780257436041633206366087e-0007,
 410    7.322342659630792930894554535717104926902e-0002,
 411    1.998191740938159956838594407540292600331e+0000,
 412    1.449560293478857407645853071687125850962e+0001,
 413    3.166623175047815297062638132537957315395e+0001,
 414    1.625270757109292688799540258329430963726e+0001,
 415 };
 416 static double qs2[6] = {
 417    3.036558483552191922522729838478169383969e+0001,
 418    2.693481186080498724211751445725708524507e+0002,
 419    8.447837575953201460013136756723746023736e+0002,
 420    8.829358451124885811233995083187666981299e+0002,
 421    2.126663885117988324180482985363624996652e+0002,
 422   -5.310954938826669402431816125780738924463e+0000,
 423 };
 424
 425 static double qzero(x)
 426         double x;
 427 {
 428         double *p,*q, s,r,z;
 429         if (x >= 8.00)                     {p = qr8; q= qs8;}
 430         else if (x >= 4.54545211791992188) {p = qr5; q= qs5;}
 431         else if (x >= 2.85714149475097656) {p = qr3; q= qs3;}
 432         else if (x >= 2.00)                {p = qr2; q= qs2;}
 433         z = one/(x*x);
 434         r = p[0]+z*(p[1]+z*(p[2]+z*(p[3]+z*(p[4]+z*p[5]))));
 435         s = one+z*(q[0]+z*(q[1]+z*(q[2]+z*(q[3]+z*(q[4]+z*q[5])))));
 436         return (-.125 + r/s)/x;
 437 }