contrib/libgmp/PROJECTS

   1 IDEAS ABOUT THINGS TO WORK ON
   2
   3 * mpq_cmp: Maybe the most sensible thing to do would be to multiply the, say,
   4   4 most significant limbs of each operand and compare them.  If that is not
   5   sufficient, do the same for 8 limbs, etc.
   6
   7 * Write mpi, the Multiple Precision Interval Arithmetic layer.
   8
   9 * Write `mpX_eval' that take lambda-like expressions and a list of operands.
  10
  11 * As a general rule, recognize special operand values in mpz and mpf, and
  12   use shortcuts for speed.  Examples: Recognize (small or all) 2^n in
  13   multiplication and division.  Recognize small bases in mpz_pow_ui.
  14
  15 * Implement lazy allocation?  mpz->d == 0 would mean no allocation made yet.
  16
  17 * Maybe store one-limb numbers according to Per Bothner's idea:
  18     struct {
  19       mp_ptr d;
  20       union {
  21         mp_limb val;    /* if (d == NULL).  */
  22         mp_size size;   /* Length of data array, if (d != NULL).  */
  23       } u;
  24     };
  25   Problem: We can't normalize to that format unless we free the space
  26   pointed to by d, and therefore small values will not be stored in a
  27   canonical way.
  28
  29 * Document complexity of all functions.
  30
  31 * Add predicate functions mpz_fits_signedlong_p, mpz_fits_unsignedlong_p,
  32   mpz_fits_signedint_p, etc.
  33
  34   mpz_floor (mpz, mpq), mpz_trunc (mpz, mpq), mpz_round (mpz, mpq).
  35
  36 * Better random number generators.  There should be fast (like mpz_random),
  37   very good (mpz_veryrandom), and special purpose (like mpz_random2).  Sizes
  38   in *bits*, not in limbs.
  39
  40 * It'd be possible to have an interface "s = add(a,b)" with automatic GC.
  41   If the mpz_xinit routine remembers the address of the variable we could
  42   walk-and-mark the list of remembered variables, and free the space
  43   occupied by the remembered variables that didn't get marked.  Fairly
  44   standard.
  45
  46 * Improve speed for non-gcc compilers by defining umul_ppmm, udiv_qrnnd,
  47   etc, to call __umul_ppmm, __udiv_qrnnd.  A typical definition for
  48   umul_ppmm would be
  49   #define umul_ppmm(ph,pl,m0,m1) \
  50     {unsigned long __ph; (pl) = __umul_ppmm (&__ph, (m0), (m1)); (ph) = __ph;}
  51   In order to maintain just one version of longlong.h (gmp and gcc), this
  52   has to be done outside of longlong.h.
  53
  54 Bennet Yee at CMU proposes:
  55 * mpz_{put,get}_raw for memory oriented I/O like other *_raw functions.
  56 * A function mpfatal that is called for exceptions.  Let the user override
  57   a default definition.
  58
  59 * Make all computation mpz_* functions return a signed int indicating if the
  60   result was zero, positive, or negative?
  61
  62 * Implement mpz_cmpabs, mpz_xor, mpz_to_double, mpz_to_si, mpz_lcm, mpz_dpb,
  63   mpz_ldb, various bit string operations.  Also mpz_@_si for most @??
  64
  65 * Add macros for looping efficiently over a number's limbs:
  66         MPZ_LOOP_OVER_LIMBS_INCREASING(num,limb)
  67           { user code manipulating limb}
  68         MPZ_LOOP_OVER_LIMBS_DECREASING(num,limb)
  69           { user code manipulating limb}
  70
  71 Brian Beuning proposes:
  72    1. An array of small primes
  73    3. A function to factor a mpz_t.  [How do we return the factors?  Maybe
  74       we just return one arbitrary factor?  In the latter case, we have to
  75       use a data structure that records the state of the factoring routine.]
  76    4. A routine to look for "small" divisors of an mpz_t
  77    5. A 'multiply mod n' routine based on Montgomery's algorithm.
  78
  79 Dough Lea proposes:
  80    1. A way to find out if an integer fits into a signed int, and if so, a
  81       way to convert it out.
  82    2. Similarly for double precision float conversion.
  83    3. A function to convert the ratio of two integers to a double.  This
  84       can be useful for mixed mode operations with integers, rationals, and
  85       doubles.
  86
  87 Elliptic curve method description in the Chapter `Algorithms in Number
  88 Theory' in the Handbook of Theoretical Computer Science, Elsevier,
  89 Amsterdam, 1990.  Also in Carl Pomerance's lecture notes on Cryptology and
  90 Computational Number Theory, 1990.
  91
  92 * Harald Kirsh suggests:
  93   mpq_set_str (MP_RAT *r, char *numerator, char *denominator).
  94
  95 * New function: mpq_get_ifstr (int_str, frac_str, base,
  96   precision_in_som_way, rational_number).  Convert RATIONAL_NUMBER to a
  97   string in BASE and put the integer part in INT_STR and the fraction part
  98   in FRAC_STR.  (This function would do a division of the numerator and the
  99   denominator.)
 100
 101 * Should mpz_powm* handle negative exponents?
 102
 103 * udiv_qrnnd: If the denominator is normalized, the n0 argument has very
 104   little effect on the quotient.  Maybe we can assume it is 0, and
 105   compensate at a later stage?
 106
 107 * Better sqrt: First calculate the reciprocal square root, then multiply by
 108   the operand to get the square root.  The reciprocal square root can be
 109   obtained through Newton-Raphson without division.  To compute sqrt(A), the
 110   iteration is,
 111
 112                                     2
 113                    x   = x  (3 - A x )/2.
 114                     i+1   i         i
 115
 116   The final result can be computed without division using,
 117
 118                      sqrt(A) = A x .
 119                                   n
 120
 121 * Newton-Raphson using multiplication: We get twice as many correct digits
 122   in each iteration.  So if we square x(k) as part of the iteration, the
 123   result will have the leading digits in common with the entire result from
 124   iteration k-1.  A _mpn_mul_lowpart could help us take advantage of this.
 125
 126 * Peter Montgomery: If 0 <= a, b < p < 2^31 and I want a modular product
 127   a*b modulo p and the long long type is unavailable, then I can write
 128
 129           typedef   signed long slong;
 130           typedef unsigned long ulong;
 131           slong a, b, p, quot, rem;
 132
 133           quot = (slong) (0.5 + (double)a * (double)b / (double)p);
 134           rem =  (slong)((ulong)a * (ulong)b - (ulong)p * (ulong)quot);
 135           if (rem < 0} {rem += p; quot--;}
 136
 137 * Speed modulo arithmetic, using Montgomery's method or my pre-inversion
 138   method.  In either case, special arithmetic calls would be needed,
 139   mpz_mmmul, mpz_mmadd, mpz_mmsub, plus some kind of initialization
 140   functions.  Better yet: Write a new mpr layer.
 141
 142 * mpz_powm* should not use division to reduce the result in the loop, but
 143   instead pre-compute the reciprocal of the MOD argument and do reduced_val
 144   = val-val*reciprocal(MOD)*MOD, or use Montgomery's method.
 145
 146 * mpz_mod_2expplussi -- to reduce a bignum modulo (2**n)+s
 147
 148 * It would be a quite important feature never to allocate more memory than
 149   really necessary for a result.  Sometimes we can achieve this cheaply, by
 150   deferring reallocation until the result size is known.
 151
 152 * New macro in longlong.h: shift_rhl that extracts a word by shifting two
 153   words as a unit.  (Supported by i386, i860, HP-PA, POWER, 29k.)  Useful
 154   for shifting multiple precision numbers.
 155
 156 * The installation procedure should make a test run of multiplication to
 157   decide the threshold values for algorithm switching between the available
 158   methods.
 159
 160 * Fast output conversion of x to base B:
 161     1. Find n, such that (B^n > x).
 162     2. Set y to (x*2^m)/(B^n), where m large enough to make 2^n ~~ B^n
 163     3. Multiply the low half of y by B^(n/2), and recursively convert the
 164        result.  Truncate the low half of y and convert that recursively.
 165   Complexity: O(M(n)log(n))+O(D(n))!
 166
 167 * Improve division using Newton-Raphson.  Check out "Newton Iteration and
 168   Integer Division" by Stephen Tate in "Synthesis of Parallel Algorithms",
 169   Morgan Kaufmann, 1993 ("beware of some errors"...)
 170
 171 * Improve implementation of Karatsuba's algorithm.  For most operand sizes,
 172   we can reduce the number of operations by splitting differently.
 173
 174 * Faster multiplication: The best approach is to first implement Toom-Cook.
 175   People report that it beats Karatsuba's algorithm already at about 100
 176   limbs.  FFT would probably never beat a well-written Toom-Cook (not even for
 177   millions of bits).
 178
 179 FFT:
 180 {
 181   * Multiplication could be done with Montgomery's method combined with
 182     the "three primes" method described in Lipson.  Maybe this would be
 183     faster than to Nussbaumer's method with 3 (simple) moduli?
 184
 185   * Maybe the modular tricks below are not needed: We are using very
 186     special numbers, Fermat numbers with a small base and a large exponent,
 187     and maybe it's possible to just subtract and add?
 188
 189   * Modify Nussbaumer's convolution algorithm, to use 3 words for each
 190     coefficient, calculating in 3 relatively prime moduli (e.g.
 191     0xffffffff, 0x100000000, and 0x7fff on a 32-bit computer).  Both all
 192     operations and CRR would be very fast with such numbers.
 193
 194   * Optimize the Schoenhage-Stassen multiplication algorithm.  Take advantage
 195     of the real valued input to save half of the operations and half of the
 196     memory.  Use recursive FFT with large base cases, since recursive FFT has
 197     better memory locality.  A normal FFT get 100% cache misses for large
 198     enough operands.
 199
 200   * In the 3-prime convolution method, it might sometimes be a win to use 2,
 201     3, or 5 primes.  Imagine that using 3 primes would require a transform
 202     length of 2^n.  But 2 primes might still sometimes give us correct
 203     results with that same transform length, or 5 primes might allow us to
 204     decrease the transform size to 2^(n-1).
 205
 206   To optimize floating-point based complex FFT we have to think of:
 207
 208   1. The normal implementation accesses all input exactly once for each of
 209      the log(n) passes.  This means that we will get 0% cache hit when n >
 210      our cache.  Remedy: Reorganize computation to compute partial passes,
 211      maybe similar to a standard recursive FFT implementation.  Use a large
 212      `base case' to make any extra overhead of this organization negligible.
 213
 214   2. Use base-4, base-8 and base-16 FFT instead of just radix-2.  This can
 215      reduce the number of operations by 2x.
 216
 217   3. Inputs are real-valued.  According to Knuth's "Seminumerical
 218      Algorithms", exercise 4.6.4-14, we can save half the memory and half
 219      the operations if we take advantage of that.
 220
 221   4. Maybe make it possible to write the innermost loop in assembly, since
 222      that could win us another 2x speedup.  (If we write our FFT to avoid
 223      cache-miss (see #1 above) it might be logical to write the `base case'
 224      in assembly.)
 225
 226   5. Avoid multiplication by 1, i, -1, -i.  Similarly, optimize
 227      multiplication by (+-\/2 +- i\/2).
 228
 229   6. Put as many bits as possible in each double (but don't waste time if
 230      that doesn't make the transform size become smaller).
 231
 232   7. For n > some large number, we will get accuracy problems because of the
 233      limited precision of our floating point arithmetic.  This can easily be
 234      solved by using the Karatsuba trick a few times until our operands
 235      become small enough.
 236
 237   8. Precompute the roots-of-unity and store them in a vector.
 238 }
 239
 240 * When a division result is going to be just one limb, (i.e. nsize-dsize is
 241   small) normalization could be done in the division loop.
 242
 243 * Never allocate temporary space for a source param that overlaps with a
 244   destination param needing reallocation.  Instead malloc a new block for
 245   the destination (and free the source before returning to the caller).
 246
 247 * Parallel addition.  Since each processors have to tell it is ready to the
 248   next processor, we can use simplified synchronization, and actually write
 249   it in C:  For each processor (apart from the least significant):
 250
 251         while (*svar != my_number)
 252           ;
 253         *svar = my_number + 1;
 254
 255   The least significant processor does this:
 256
 257         *svar = my_number + 1;  /* i.e., *svar = 1 */
 258
 259   Before starting the addition, one processor has to store 0 in *svar.
 260
 261   Other things to think about for parallel addition: To avoid false
 262   (cache-line) sharing, allocate blocks on cache-line boundaries.
 263
 264 \f
 265 Local Variables:
 266 mode: text
 267 fill-column: 77
 268 fill-prefix: "  "
 269 version-control: never
 270 End: