lib/libm/common_source/jn.c

   1 /*-
   2  * Copyright (c) 1992, 1993
   3  *      The Regents of the University of California.  All rights reserved.
   4  *
   5  * Redistribution and use in source and binary forms, with or without
   6  * modification, are permitted provided that the following conditions
   7  * are met:
   8  * 1. Redistributions of source code must retain the above copyright
   9  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer.
  10  * 2. Redistributions in binary form must reproduce the above copyright
  11  *    notice, this list of conditions and the following disclaimer in the
  12  *    documentation and/or other materials provided with the distribution.
  13  * 3. All advertising materials mentioning features or use of this software
  14  *    must display the following acknowledgement:
  15  *      This product includes software developed by the University of
  16  *      California, Berkeley and its contributors.
  17  * 4. Neither the name of the University nor the names of its contributors
  18  *    may be used to endorse or promote products derived from this software
  19  *    without specific prior written permission.
  20  *
  21  * THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE REGENTS AND CONTRIBUTORS ``AS IS'' AND
  22  * ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
  23  * IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE
  24  * ARE DISCLAIMED.  IN NO EVENT SHALL THE REGENTS OR CONTRIBUTORS BE LIABLE
  25  * FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL
  26  * DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS
  27  * OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
  28  * HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT
  29  * LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
  30  * OUT OF THE USE OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF
  31  * SUCH DAMAGE.
  32  *
  33  * @(#)jn.c     8.2 (Berkeley) 11/30/93
  34  */
  35
  36 /*
  37  * 16 December 1992
  38  * Minor modifications by Peter McIlroy to adapt non-IEEE architecture.
  39  */
  40
  41 /*
  42  * ====================================================
  43  * Copyright (C) 1992 by Sun Microsystems, Inc.
  44  *
  45  * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
  46  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
  47  * software is freely granted, provided that this notice
  48  * is preserved.
  49  * ====================================================
  50  *
  51  * ******************* WARNING ********************
  52  * This is an alpha version of SunPro's FDLIBM (Freely
  53  * Distributable Math Library) for IEEE double precision
  54  * arithmetic. FDLIBM is a basic math library written
  55  * in C that runs on machines that conform to IEEE
  56  * Standard 754/854. This alpha version is distributed
  57  * for testing purpose. Those who use this software
  58  * should report any bugs to
  59  *
  60  *              fdlibm-comments@sunpro.eng.sun.com
  61  *
  62  * -- K.C. Ng, Oct 12, 1992
  63  * ************************************************
  64  */
  65
  66 /*
  67  * jn(int n, double x), yn(int n, double x)
  68  * floating point Bessel's function of the 1st and 2nd kind
  69  * of order n
  70  *
  71  * Special cases:
  72  *      y0(0)=y1(0)=yn(n,0) = -inf with division by zero signal;
  73  *      y0(-ve)=y1(-ve)=yn(n,-ve) are NaN with invalid signal.
  74  * Note 2. About jn(n,x), yn(n,x)
  75  *      For n=0, j0(x) is called,
  76  *      for n=1, j1(x) is called,
  77  *      for n<x, forward recursion us used starting
  78  *      from values of j0(x) and j1(x).
  79  *      for n>x, a continued fraction approximation to
  80  *      j(n,x)/j(n-1,x) is evaluated and then backward
  81  *      recursion is used starting from a supposed value
  82  *      for j(n,x). The resulting value of j(0,x) is
  83  *      compared with the actual value to correct the
  84  *      supposed value of j(n,x).
  85  *
  86  *      yn(n,x) is similar in all respects, except
  87  *      that forward recursion is used for all
  88  *      values of n>1.
  89  *
  90  */
  91
  92 #include <math.h>
  93 #include <float.h>
  94 #include <errno.h>
  95
  96 #if defined(vax) || defined(tahoe)
  97 #define _IEEE   0
  98 #else
  99 #define _IEEE   1
 100 #define infnan(x) (0.0)
 101 #endif
 102
 103 static double
 104 invsqrtpi= 5.641895835477562869480794515607725858441e-0001,
 105 two  = 2.0,
 106 zero = 0.0,
 107 one  = 1.0;
 108
 109 double jn(n,x)
 110         int n; double x;
 111 {
 112         int i, sgn;
 113         double a, b, temp;
 114         double z, w;
 115
 116     /* J(-n,x) = (-1)^n * J(n, x), J(n, -x) = (-1)^n * J(n, x)
 117      * Thus, J(-n,x) = J(n,-x)
 118      */
 119     /* if J(n,NaN) is NaN */
 120         if (_IEEE && isnan(x)) return x+x;
 121         if (n<0){
 122                 n = -n;
 123                 x = -x;
 124         }
 125         if (n==0) return(j0(x));
 126         if (n==1) return(j1(x));
 127         sgn = (n&1)&(x < zero);         /* even n -- 0, odd n -- sign(x) */
 128         x = fabs(x);
 129         if (x == 0 || !finite (x))      /* if x is 0 or inf */
 130             b = zero;
 131         else if ((double) n <= x) {
 132                         /* Safe to use J(n+1,x)=2n/x *J(n,x)-J(n-1,x) */
 133             if (_IEEE && x >= 8.148143905337944345e+090) {
 134                                         /* x >= 2**302 */
 135     /* (x >> n**2)
 136      *      Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
 137      *      Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
 138      *      Let s=sin(x), c=cos(x),
 139      *          xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
 140      *
 141      *             n    sin(xn)*sqt2    cos(xn)*sqt2
 142      *          ----------------------------------
 143      *             0     s-c             c+s
 144      *             1    -s-c            -c+s
 145      *             2    -s+c            -c-s
 146      *             3     s+c             c-s
 147      */
 148                 switch(n&3) {
 149                     case 0: temp =  cos(x)+sin(x); break;
 150                     case 1: temp = -cos(x)+sin(x); break;
 151                     case 2: temp = -cos(x)-sin(x); break;
 152                     case 3: temp =  cos(x)-sin(x); break;
 153                 }
 154                 b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
 155             } else {
 156                 a = j0(x);
 157                 b = j1(x);
 158                 for(i=1;i<n;i++){
 159                     temp = b;
 160                     b = b*((double)(i+i)/x) - a; /* avoid underflow */
 161                     a = temp;
 162                 }
 163             }
 164         } else {
 165             if (x < 1.86264514923095703125e-009) { /* x < 2**-29 */
 166     /* x is tiny, return the first Taylor expansion of J(n,x)
 167      * J(n,x) = 1/n!*(x/2)^n  - ...
 168      */
 169                 if (n > 33)     /* underflow */
 170                     b = zero;
 171                 else {
 172                     temp = x*0.5; b = temp;
 173                     for (a=one,i=2;i<=n;i++) {
 174                         a *= (double)i;         /* a = n! */
 175                         b *= temp;              /* b = (x/2)^n */
 176                     }
 177                     b = b/a;
 178                 }
 179             } else {
 180                 /* use backward recurrence */
 181                 /*                      x      x^2      x^2
 182                  *  J(n,x)/J(n-1,x) =  ----   ------   ------   .....
 183                  *                      2n  - 2(n+1) - 2(n+2)
 184                  *
 185                  *                      1      1        1
 186                  *  (for large x)   =  ----  ------   ------   .....
 187                  *                      2n   2(n+1)   2(n+2)
 188                  *                      -- - ------ - ------ -
 189                  *                       x     x         x
 190                  *
 191                  * Let w = 2n/x and h=2/x, then the above quotient
 192                  * is equal to the continued fraction:
 193                  *                  1
 194                  *      = -----------------------
 195                  *                     1
 196                  *         w - -----------------
 197                  *                        1
 198                  *              w+h - ---------
 199                  *                     w+2h - ...
 200                  *
 201                  * To determine how many terms needed, let
 202                  * Q(0) = w, Q(1) = w(w+h) - 1,
 203                  * Q(k) = (w+k*h)*Q(k-1) - Q(k-2),
 204                  * When Q(k) > 1e4      good for single
 205                  * When Q(k) > 1e9      good for double
 206                  * When Q(k) > 1e17     good for quadruple
 207                  */
 208             /* determine k */
 209                 double t,v;
 210                 double q0,q1,h,tmp; int k,m;
 211                 w  = (n+n)/(double)x; h = 2.0/(double)x;
 212                 q0 = w;  z = w+h; q1 = w*z - 1.0; k=1;
 213                 while (q1<1.0e9) {
 214                         k += 1; z += h;
 215                         tmp = z*q1 - q0;
 216                         q0 = q1;
 217                         q1 = tmp;
 218                 }
 219                 m = n+n;
 220                 for(t=zero, i = 2*(n+k); i>=m; i -= 2) t = one/(i/x-t);
 221                 a = t;
 222                 b = one;
 223                 /*  estimate log((2/x)^n*n!) = n*log(2/x)+n*ln(n)
 224                  *  Hence, if n*(log(2n/x)) > ...
 225                  *  single 8.8722839355e+01
 226                  *  double 7.09782712893383973096e+02
 227                  *  long double 1.1356523406294143949491931077970765006170e+04
 228                  *  then recurrent value may overflow and the result will
 229                  *  likely underflow to zero
 230                  */
 231                 tmp = n;
 232                 v = two/x;
 233                 tmp = tmp*log(fabs(v*tmp));
 234                 for (i=n-1;i>0;i--){
 235                         temp = b;
 236                         b = ((i+i)/x)*b - a;
 237                         a = temp;
 238                     /* scale b to avoid spurious overflow */
 239 #                       if defined(vax) || defined(tahoe)
 240 #                               define BMAX 1e13
 241 #                       else
 242 #                               define BMAX 1e100
 243 #                       endif /* defined(vax) || defined(tahoe) */
 244                         if (b > BMAX) {
 245                                 a /= b;
 246                                 t /= b;
 247                                 b = one;
 248                         }
 249                 }
 250                 b = (t*j0(x)/b);
 251             }
 252         }
 253         return ((sgn == 1) ? -b : b);
 254 }
 255 double yn(n,x)
 256         int n; double x;
 257 {
 258         int i, sign;
 259         double a, b, temp;
 260
 261     /* Y(n,NaN), Y(n, x < 0) is NaN */
 262         if (x <= 0 || (_IEEE && x != x))
 263                 if (_IEEE && x < 0) return zero/zero;
 264                 else if (x < 0)     return (infnan(EDOM));
 265                 else if (_IEEE)     return -one/zero;
 266                 else                return(infnan(-ERANGE));
 267         else if (!finite(x)) return(0);
 268         sign = 1;
 269         if (n<0){
 270                 n = -n;
 271                 sign = 1 - ((n&1)<<2);
 272         }
 273         if (n == 0) return(y0(x));
 274         if (n == 1) return(sign*y1(x));
 275         if(_IEEE && x >= 8.148143905337944345e+090) { /* x > 2**302 */
 276     /* (x >> n**2)
 277      *      Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
 278      *      Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
 279      *      Let s=sin(x), c=cos(x),
 280      *          xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
 281      *
 282      *             n    sin(xn)*sqt2    cos(xn)*sqt2
 283      *          ----------------------------------
 284      *             0     s-c             c+s
 285      *             1    -s-c            -c+s
 286      *             2    -s+c            -c-s
 287      *             3     s+c             c-s
 288      */
 289                 switch (n&3) {
 290                     case 0: temp =  sin(x)-cos(x); break;
 291                     case 1: temp = -sin(x)-cos(x); break;
 292                     case 2: temp = -sin(x)+cos(x); break;
 293                     case 3: temp =  sin(x)+cos(x); break;
 294                 }
 295                 b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
 296         } else {
 297             a = y0(x);
 298             b = y1(x);
 299         /* quit if b is -inf */
 300             for (i = 1; i < n && !finite(b); i++){
 301                 temp = b;
 302                 b = ((double)(i+i)/x)*b - a;
 303                 a = temp;
 304             }
 305         }
 306         if (!_IEEE && !finite(b))
 307                 return (infnan(-sign * ERANGE));
 308         return ((sign > 0) ? b : -b);
 309 }